矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程

在第二章中已討論過用節(jié)點(diǎn)電壓法（又稱節(jié)點(diǎn)電位法）來求解電路。對于不太復(fù)雜的電路，可用手工方法來直觀地建立節(jié)點(diǎn)電壓方程組，然后求出各節(jié)點(diǎn)電位和支路電流。本節(jié)介紹用系統(tǒng)方法來建立矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程組。在采用計算機(jī)輔助分析求解電路問題，如對大規(guī)模集成電路的分析計算時，這種方法有較大的優(yōu)越性。

在討論實(shí)際電路問題的時候，首先必須定義一個能代表一般支路結(jié)構(gòu)的典型支路，

圖 7-6-1

圖7-6-1所示為通常采用的不含受控源情況下一種典型支路結(jié)構(gòu)，它由支路元件（電阻、電感及電容），獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源所組成，支路電流，支路電壓，及和的參考方向作如圖所示的規(guī)定。在實(shí)際電路中，如果某條支路不包含獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源，則可令對應(yīng)的或為零。

對于圖7-6-1所示的一般性支路，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可寫出其支路電壓電流關(guān)系式，有：

（7-6-1）

則對于包含有b條支路的網(wǎng)絡(luò)，可寫出各支路電壓電流關(guān)系式為：

（7-6-2）

把上式寫為矩陣形式，有：

（7-6-3）

式中，為支路電壓列向量矩陣；為支路電流列向量矩陣；與為支路中獨(dú)立電流源與獨(dú)立電壓源列向量矩陣。Z為支路阻抗矩陣，當(dāng)電路不包含受控源時，它為一對角矩陣，即有：

（7-6-4）

對式（7-6-3）兩邊左乘支路阻抗矩陣的逆矩陣，并解出支路電流列向量為：

（7-6-5）

式中，稱為支路導(dǎo)納矩陣。當(dāng)Z為對角陣時，Y也為一對角陣，且有：

（7-6-6）

或： （7-6-7）

對式（7-6-5）兩邊左乘關(guān)聯(lián)矩陣A，考慮到矩陣形式的基爾霍夫電流定律，有：

即有：

由支路電壓與節(jié)點(diǎn)電位之間的關(guān)系式，上式可寫為：

（7-6-8）

或：

（7-6-9）

式中，稱為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。上二式即為矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程，為待求的節(jié)點(diǎn)電位列向量矩陣，式中其余各矩陣元素均可根據(jù)求解網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)，對照典型支路所規(guī)定的參考方向分別系統(tǒng)地列寫出來。解式（7-6-9）矩陣方程，可解得節(jié)點(diǎn)電位值，進(jìn)而求出支路電壓值，再由式（7-6-5）求出支路電流值。一般在用矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程解題時，包含以下幾個主要步驟：

（1）作有向圖，標(biāo)出各支路電壓電流參考方向；

（2）對各支路，節(jié)點(diǎn)編號；

（3）選定參考節(jié)點(diǎn)，建立關(guān)聯(lián)矩陣A；

（4）參照一般性支路（典型支路）的結(jié)構(gòu)和方向，分別寫出支路導(dǎo)納矩陣Y，支路電壓源列矩陣及支路電流源列矩陣；

（5）根據(jù)式（7-6-9）解出節(jié)點(diǎn)電位列向量；

（6）由求出支路電壓，由式（7-6-5）求出支路電流，并求出支路中流過元件（阻抗Z）的電流。

例7-6-1 電路如圖7-6-2a所示，各支路阻抗值，電壓源及電流源均如圖。試建立矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程式。

解： 電路的有向圖及參考方向見圖7-6-2b。選節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)，則可寫出其關(guān)聯(lián)矩陣A為：

圖 7-6-2

電壓源向量

電流源向量

支路導(dǎo)納矩陣

然后寫出其節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為：

最后可得矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程式為：

由上可看出，用系統(tǒng)方法建立的節(jié)點(diǎn)電壓方程式與第二章中用觀察法直接列寫的結(jié)果是完全相同的。雖然在簡單電路的解題中并未體現(xiàn)其特點(diǎn)，但對于大型網(wǎng)絡(luò)，可由計算機(jī)自動生成方程組。上面的過程可由計算機(jī)完成。

上面討論的例子中未包含受控源的情況，如果考慮受控源情況，則矩陣方程的形式要復(fù)雜得多。由于受控源有四種形式，且在電路中控制變量可能是支路電壓電流，也可以是元件電壓電流（見上面討論的典型支路），因此想寫出一個包含所有情況的一般性方程形式就會變得很復(fù)雜。下面僅分別討論包含元件電流控制的電壓源與元件電壓控制的電流源二種情況。

圖 7-6-3

在一般支路中，若包含有元件電流控制的電壓源，則一般支路形式如圖7-6-3所示。圖中為第j條支路中流過元件的電流，, 為控制系數(shù)。若設(shè)一個有b條支路的電網(wǎng)絡(luò)，其中第k支路中有一個受j 支路元件電流控制的電壓源，其方向如圖7-6-3所示，則k支路電壓方程為：

（7-6-10）

而其余支路電壓方程完全與式7-6-2相同。寫出該電路的各支路電壓方程式組，并用矩陣形式表示為：

（7-6-11）

或記為：

（7-6-12）

上式與不包含受控源時的形式完全相同，其差別在于支路阻抗矩陣Z。對于包含有元件電流控制的電壓源情況，其支路阻抗矩陣Z中第k行（受控電壓源支路號）第j列（控制電流支路號）位置出現(xiàn)一個受控源控制系數(shù)。此時支路阻抗矩陣Z不再為對角陣，但其矩陣方程表達(dá)式卻與不含受控源完全相同，因此其求解過程也與上面介紹的完全一致。由此可見，對于包含元件電流控制電壓源情況，在列寫矩陣形式節(jié)點(diǎn)電壓方程時，只需把受控源控制系數(shù)寫入支路阻抗矩陣的對應(yīng)位置，其余步驟與不含受控源完全相同。

例7-6-2 電路如圖7-6-4所示，各元件參數(shù)及電源情況標(biāo)于圖上，支路1與2之間存在互感，設(shè)，試建立矩陣形式的節(jié)點(diǎn)電壓方程。

解：互感現(xiàn)象可看成是某一支路控制電流在另一支路中產(chǎn)生的受控電壓源，其控制系數(shù)即為互感值。畫出電路的有向圖如圖7-6-4b所示，節(jié)點(diǎn)及支路編號如圖，選節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)，可寫出其關(guān)聯(lián)矩陣為：

把互感電壓作為元件電流控制電壓源，控制系數(shù)為，參照典型支路圖7-6-3，可寫出支路阻抗矩陣為：

圖 7-6-4

支路導(dǎo)納矩陣為：

最后可得矩陣方程為：

如果網(wǎng)絡(luò)中包含有元件電壓控制的電流源，其一般支路形式如圖7-6-5所示。對于這種形式的電路，可直接列寫出支路電流表達(dá)式為：

（7-6-13）

圖 7-6-5

式中，表示由j支路中元件電壓控制k支路中電流源的受控源控制系數(shù)。與上面分析受控源情況相同，若b條支路中k支路有一受支路j元件電壓控制的電流源，則可寫出各支路電流方程式，并用矩陣形式表示為：

（7-6-14）

或?qū)懗桑?/P>

（7-6-15）

可見對于元件電壓控制的電流源情況，可直接列寫支路導(dǎo)納矩陣，把相應(yīng)的受控源控制系數(shù)寫入到Y(jié)的對應(yīng)位置。其余的計算方法與不包含受控源情況完全相同。