階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

在分析線性電路過渡過程時(shí)，常使用一些奇異函數(shù)來描述電路中的激勵(lì)或響應(yīng)。階躍函數(shù)和沖激函數(shù)是兩個(gè)最常用最重要的函數(shù)。

一、單位階躍函數(shù)。

單位階躍函數(shù)定義為：

（式8-2-1）

圖8-2-1

其波形如圖8-2-1所示。單位階躍函數(shù)在處有跳變，是一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)。將單位階躍函數(shù)乘以常數(shù)，就得到階躍函數(shù)，又稱為開關(guān)函數(shù)。因?yàn)樗梢杂脕砻枋鲭娐分械拈_關(guān)動(dòng)作，如圖8-2-2所示。圖8-2-2所示電路在時(shí)刻開關(guān)S從1切換至2，那么一端口網(wǎng)絡(luò)的入端電壓就可用階躍函數(shù)表示為：，如圖8-2-2所示。

圖8-2-2

延時(shí)的單位階躍函數(shù)定義為：

（式8-2-2）

其波形如圖8-2-3所示，同樣以圖8-2-2為例，若時(shí)刻將開關(guān)S從1切換至2，那么一端口網(wǎng)絡(luò)的入端電壓就可用延時(shí)階躍函數(shù)表示為：。

二、單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)定義為：

（式8-2-3）

其波形如圖8-2-5所示。為了更好地理解單位沖激函數(shù)，先來看單位脈沖函數(shù)。單位脈沖函數(shù)定義為：

（式8-2-4）

圖8-2-5

其波形如圖8-2-5所示。單位脈沖函數(shù)的寬度是，高度是，面積為1。當(dāng)脈沖寬度減小，其高度將增大，而面積仍保持為1。當(dāng)脈沖寬度趨于無限小時(shí)，其高度將趨于無限大，但面積仍然為1。當(dāng)脈沖寬度趨于零時(shí)，這時(shí)脈沖函數(shù)就成為單位沖激函數(shù)。

將單位沖激函數(shù)乘以常數(shù)K，就得到?jīng)_激強(qiáng)度為K的沖激函數(shù)，表示為。

延時(shí)的單位沖激函數(shù)定義為：

（式8-2-5）

其波形如圖8-2-6所示。

圖8-2-6

沖激函數(shù)不是一般函數(shù)，屬于廣義函數(shù)，其更嚴(yán)格的定義可參閱有關(guān)數(shù)學(xué)書中的論述。