二階電路的零輸入響應(yīng)
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凡用二階微分方程描述的電路，稱為二階電路。二階電路中含有兩個獨立的儲能元件。本節(jié)以
串聯(lián)電路為例，討論二階電路的零輸入響應(yīng)。
圖8-7-1
圖8-7-1為串聯(lián)電路，當
時，假設(shè)電容C曾充過電，初始電壓為
，電感L處于零初始狀態(tài)，即
。在
時刻，開關(guān)S閉合，求零輸入響應(yīng)
、
與
。
如圖8-7-1所示選取各電壓、電流的參考方向。開關(guān)S閉合后，根據(jù)基爾霍夫電壓定律列寫描述電路的微分方程：
（式8-7-1）
（式8-7-1）中有兩個未知變量i和
。將
代入上式消去
，得到：
即：
（式8-7-2）
也可以得到：
（式8-8-3）
（式8-7-2）與（式8-7-3）形式完全一致，都是線性常系數(shù)二階齊次微分方程，可任選其中一式求解，現(xiàn)選擇（式8-7-2）。求解二階微分方程，需要兩個初始條件來確定積分常數(shù)。
根據(jù)換路定則：
，
特征方程為：
特征根為：
（式8-7-4）
特征根只與電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。
下面分三種情況討論方程的解。
（1）當
即
時，過渡過程是非周期情況，也稱為過阻尼情況。此時特征方程有兩個不相等的負實根。通解的一般形式為：
（式8-7-5）
電流：
（式8-7-6）
其中積分常數(shù)A1、
由初始條件確定，對（式8-7-5）（式8-7-6）取
時刻值：
，
由初值：
，
聯(lián)立求解上兩式得：
（式8-7-7）
將A1、代入（式8-7-5）（式8-7-6）得：
電容電壓：
（式8-7-8）
電流：
電感電壓：
又因
，于是：
（式8-7-9）
（式8-7-10）
圖8-7-2
、
、
隨時間變化的曲線如圖8-7-2所示。在（式8-7-8）中，包含兩個分量，S1、S2都為負值，且
，故
比
衰減得快，這兩個單調(diào)下降的指數(shù)函數(shù)決定了電容電壓的放電過程是非周期的。
電感電壓在時初值為
，在
時，由于電流不斷負向增加，
為負；在
后，電流負向減少，為正，最終衰減至零。
如果
，
或
，時，分析過程與上相同。
（2）當
即
時，過渡過程是臨界阻尼情況，此時特征方程有兩個相等的負實根。
（式8-7-11）
電容電壓的一般形式為：
（式8-7-12）
電流：
（式8-7-13）
由初始條件確定積分常數(shù)
、
：
，
解之得：
，
因此：
（式8-7-14），
（式8-7-15）
（式8-7-16）
、、隨時間變化的曲線與圖8-7-2所示的曲線相似，響應(yīng)仍然是非周期性的，非振蕩性的。
（3）當
即
時，過渡過程是欠阻尼情況，是周期性振蕩情況。此時特征方程有兩個實部為負的共軛復根。令
，稱為衰減系數(shù)，
為諧振角頻率，
稱為振蕩角頻率，則特征根為：
（式8-7-17）
電容電壓的一般形式為：
（式8-7-18）
電流：
（式8-7-19）
由初值確定積分常數(shù)A、
，對（式8-7-18）、（式8-7-19）取
時刻的值，得到：
聯(lián)立求解得：
，
（式8-7-20）
于是：
（式8-7-21）
（式8-7-22）
（式8-7-23）
圖8-7-3
、、的波形如圖8-7-3所示，它們都是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦波，圖中虛線為包絡(luò)線。當
達到極大值時，為零；當達到極大值時，I為零。這種幅值逐漸減小的振蕩稱為阻尼振蕩或衰減振蕩。衰減系數(shù)b越大，振幅衰減越快；b越小，振幅衰減越慢。阻尼振蕩角頻率
決定于由路本身的參數(shù)，電阻減小，則衰減系數(shù)減小，衰減減慢，在
的極限情況下，衰減系數(shù)
，響應(yīng)變成等幅振蕩，也稱為無阻尼振蕩。無阻尼振蕩角頻率
等于諧振角頻率
，這時（式8-7-21）（式8-7-22）（式8-7-23）變?yōu)椋?/P>
（式8-7-24）
（式8-7-25）
（式8-7-26）
上述無阻尼振蕩不是由激勵源強制作用所形成的，是零輸入響應(yīng)，因此稱為自由振蕩。下面從能量轉(zhuǎn)換角度分析電路的久阻尼周期性振蕩過程。
例8-7-1 如圖8-7-4所示電路，當時開關(guān)S閉合。已知
，
，
，
。試分別計算
、
及
時的。
圖8-7-4例8-7-1附圖
解：圖8-7-4所示是一個RLC串聯(lián)電路，利用前面的分析結(jié)果求解。
（1）時，，過渡過程為過阻尼情況。
，
根據(jù)換路定則：
，
于是：
求得：
，
故：
（2）當時，，過渡過程為臨界阻尼情況
由初始條件得：
，
解得：
，故：
（3）當時，，過渡過程為欠阻尼情況：
由初始條件得：
，
解得：
故：
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