拉普拉斯變換

在電路分析中，如果將換路時刻作為時間的起點(diǎn)，那么我們只需研究后的電路變量，這樣就可以將函數(shù)限定在的區(qū)間。這就相當(dāng)于將函數(shù)乘上了單位階躍函數(shù)，即：

乘以一個衰減因子，選擇適當(dāng)?shù)?SUB sizset="11" sizcache="3">，使得在區(qū)間內(nèi)絕對可積，則它的傅里葉變換為：

（式9-1-1）

（式9-1-1）的積分下限取為，令，則積分結(jié)果是S的函數(shù)，將（式9-1-1）寫為：

（式9-1-2）

（式9-1-2）中的s稱為復(fù)頻率。對于一個時間函數(shù)，由（式9-1-2）就可得到一個，通常將稱為原函數(shù)，將稱為象函數(shù)。

對進(jìn)行傅里葉反變換，有：

上式兩邊同乘，得：

（式9-1-3）

（式9-1-2）、（式9-1-3）是一對拉普拉斯變換式，（式9-1-2）為拉普拉斯正變換，（式9-1-3）為拉普拉斯反變換，常用手寫體“L”表示拉普拉斯變換，記為：

，

如果時間函數(shù)滿足：

（1）時，；

（2）時，和都分段連續(xù)，在有限區(qū)間內(nèi)至多存在有限個間斷點(diǎn)；

（3）是指數(shù)階函數(shù)，即存在常數(shù)和，使，從而使積分有限，其中、，則的拉普拉斯變換存在。電路中常見函數(shù)一般都是指數(shù)階函數(shù)。

下面按拉普拉斯變換的定義式（式9-1-2）導(dǎo)出一些常用函數(shù)的象函數(shù)。

一、指數(shù)函數(shù)

這里應(yīng)有。

當(dāng)時，成為單位階躍函數(shù)，于是的拉氏變換為，記為：

當(dāng)時，可得：

二、單位沖激函數(shù)

式中利用了的篩分性質(zhì)，即：

一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換式詳見表9-1-1。

表9-1-1 一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換