開槽波導3次諧波回旋行波放大管非線性理論數(shù)值模擬

當角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數(shù)kc的值可由式(10)通過數(shù)值求解方法求得[6，8，9].

三、自洽非線性理論

在熱腔中，高頻場沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(r,φ)的分布函數(shù)與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區(qū)中的熱腔高頻電場分量(TE波)表達式.

　(11)

　(12)

Ez=0　(13)

上述各式中，Cmn為電場歸一化系數(shù)，f(z)為一復函數(shù)，代表高頻場沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.

從洛倫茲公式

出發(fā)[8]，可推得電子在高頻場(E,B)和直流磁場(B0)作用下的運動方程.每個電子有6個運動參量方程，這里僅給出了速度分量及動量空間角3個運動參量方程.

　(15)

　(16)

　(17)

以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對論因子，φ為動量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.

從有源麥克斯韋方程出發(fā)，經(jīng)過一系列復雜的推導并對電流進行離散化后得到非線性注波互作用場方程為

　(18)

上式中，P為在一個高頻場周期內(nèi)所取的電子注批數(shù)，M為考慮電子注厚度因數(shù)而將電子注化分的圈數(shù)，N為每圈上所取的宏電子數(shù)，S為諧波次數(shù).〈…〉表示對初始速度分布函數(shù)為g0(v⊥,vz)的速度空間進行平均.設(shè)電子注為單能電子注，速度零散主要來自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態(tài)分布規(guī)律來處理速度零散，即初始速度分布函數(shù)為

式中K為歸一化常數(shù),△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數(shù).

邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)

(20)

式中f(0)為輸入高頻場電場幅值.

方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個宏電子，則一共有6NT+2個一階非線性微分方程，結(jié)合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫塔法對注波互作用進行數(shù)值計算，計算結(jié)果在下部分內(nèi)容中給出并討論.

四、結(jié)果與討論

表1給出了互作用電路參數(shù)，各圖表曲線相關(guān)參數(shù)見相應(yīng)圖表標注.圖3給出了驅(qū)動功率為20W情況下，效率與電子速度比值α的關(guān)系.圖中B0、Bg分別為直流磁場和共振點磁場，ω為高頻場頻率，ωc為波導截止頻率.由于在回旋行波管中波的能量取自于電子的橫向能，又由于當α值增大，電子的橫向能量以及回旋半徑也隨著增大，因此互作用效率也就隨著α增大而增大.但當α增大到一定值后，注波互作用達到飽和，同時由于電子注回旋半徑過大，電子在波導壁上產(chǎn)生截獲，這樣互作用效率又隨α值增大而減小.

表1　數(shù)值模擬參數(shù)與結(jié)果

內(nèi)半徑1.024mm

外半徑1.465mm

電路長度87.9mm

注電壓60kV

注電流6A

α1.3

直流磁場11.674kG

高頻場模式π

諧波次數(shù)3

工作頻率95.08GHz

模擬結(jié)果

飽和效率22.8%

飽和輸出功率82kW

飽和增益36.15dB

圖3　效率與電子注速度比值α的關(guān)系(s=3,πmode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=1.032，

B0/Bg=0.99)

圖4所示為飽和效率、飽和增益與B0/Bg值之間的關(guān)系，虛線為飽和增益曲線.圖中γz為縱向速度分量的相對論因子.圖示表明，一方面，降低B0/Bg值，有助于提高飽和互作用效率，但B0/Bg值不能太低，否則失諧加重，注波互作用難以達到同步，飽和效率便會迅速降低;另一方面，增加B0/Bg的值卻有利于提高飽和增益.總的來說，磁場失諧率的選擇應(yīng)在效率和增益之間作優(yōu)化折衷.

圖4　飽和效率及增益與B0/Bg值的關(guān)系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=γz,

α=1.3)

圖5所示電流分別為3A、6A和9A情況下(a)飽和效率、(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系.可以看出飽和效率、飽和增益以及飽和帶寬都隨電流的增長而有所增加.在6A和圖示情況下，飽和帶寬為7%，電流為3A增大到9A時，飽和帶寬從4.6%增大到8.3%.

圖5　不同電流下，(a)飽和效率(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系(