巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)與仿真分析

0   引言

巴特沃斯濾波器（Butterworth Filter）也被稱(chēng)作最大平坦濾波器。其特點(diǎn)是在通頻帶內(nèi)，其頻率響應(yīng)曲線(xiàn)最大限度平坦、單調(diào)遞減無(wú)波紋產(chǎn)生；而在阻頻帶內(nèi)，其頻率響應(yīng)曲線(xiàn)逐漸下降為零。這些優(yōu)點(diǎn)使其在信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于濾波器的性能一般考慮其幅頻特性，但對(duì)于更深層次的信號(hào)處理應(yīng)用方面，濾波器的相頻特性也是其重要特性之一。尤其是在多點(diǎn)激勵(lì)、載荷建立以及傳遞路徑識(shí)別等方面問(wèn)題的研究中具有重要作用。

1   巴特沃斯濾波器傳遞函數(shù)分析

連續(xù)時(shí)間巴特沃斯低通濾波器可用式（1）表示。

式中：B(jω) 為連續(xù)時(shí)間巴特沃斯傳遞函數(shù)，ω 為頻率，ω_C 為濾波器截止頻率，N 為階數(shù)，該濾波器Bode 圖如圖1 所示。

將式（1）轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)aplace 域分析，即令s = jω，可得到式（2）。

圖1 巴特沃斯濾波器Bode圖

求解式（2）的極點(diǎn)，可得式（3）。

對(duì)極點(diǎn)作歸一化處理，即令：

作歸一化巴特沃斯濾波器的拉普拉斯域平面，可以得到2N 個(gè)以虛軸Im 對(duì)稱(chēng)的極點(diǎn)，以N = 3 為例其極點(diǎn)分布如圖2 所示，所有極點(diǎn)都均分在以原點(diǎn)為中心的單位圓上。

為形成因果穩(wěn)定系統(tǒng)，取左半平面極點(diǎn)構(gòu)建式（5）的傳遞函數(shù)。

圖2 極點(diǎn)分布圖

其中多項(xiàng)式系數(shù)b_i可構(gòu)為建歸一化N 階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)系數(shù)，不同階數(shù)系數(shù)如表1 所示。

對(duì)應(yīng)不同階數(shù)N， 繪制歸一化巴特沃斯濾波器Bode圖如圖3 所示。

圖3 歸一化巴特沃斯濾波器Bode圖

2   數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例

現(xiàn)以表2 所述濾波器性能參數(shù)，實(shí)例設(shè)計(jì)巴特沃斯型數(shù)字濾波器。

針對(duì)通帶截止頻率與阻帶截止頻率設(shè)計(jì)要求，建立式（6）與（7）的濾波器設(shè)計(jì)約束條件。

通過(guò)約束條件，可通過(guò)式（8）得到理論設(shè)計(jì)階數(shù)。

由于階數(shù)需為整數(shù)，將理論階數(shù)N* 向高階取整以得到N，并代入式（9），即可得到截止頻率ω_c。

經(jīng)計(jì)算，N = 4，ω_c = 5.275 kHz，通過(guò)歸一化濾波器系數(shù)，即可表得到濾波器的傳遞函數(shù)為式（10）。

采用雙線(xiàn)性變換法，即通過(guò)式（11）完成s 域到z域的映射。由此即可得到在采樣頻率下的數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)。

3   濾波器的仿真分析

仿真過(guò)程中，通過(guò)構(gòu)建兩路不同頻率正弦波信號(hào)x1和x2進(jìn)行疊加作為輸入，其中x1為300Hz，x2為15kHz。按圖4 所示原理圖，將疊加信號(hào)通過(guò)采樣器采樣后輸入數(shù)字濾波器，通過(guò)示波器分別顯示原始疊加信號(hào)、低頻信號(hào)與濾波信號(hào)的波形。

圖4 仿真系統(tǒng)原理

通過(guò)圖5的波形分析可以看出，該濾波器可以很好的將高頻信號(hào)濾除，濾波信號(hào)的波形基本能夠還原輸入的低頻信號(hào)。只是在幅值上有0.028%的衰減，相位上存在127.433μs的延遲。

圖5 波形分析

4   結(jié)束語(yǔ)

本文從巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)原理著手，通過(guò)極點(diǎn)分析推導(dǎo)了巴特沃斯系數(shù)表的構(gòu)建方法，并分析了設(shè)計(jì)階數(shù)對(duì)濾波器的幅頻特性與相頻特性所產(chǎn)生的影響。通過(guò)結(jié)合實(shí)例指標(biāo)參數(shù)要求，使用雙線(xiàn)性變換法完成了巴特沃斯型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。最后通過(guò)仿真分析，驗(yàn)證了該數(shù)字濾波器的濾波效果，結(jié)果表明在通頻段信號(hào)的幅值有微弱的降低，相位有少量滯后，但總體還原程度較高，效果理想。

參考文獻(xiàn)：

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2022年12月期）