用最小二乘法解熱電偶近似誤差

了解k型熱電偶的線性近似誤差，以及如何使用最小二乘法和Matlab來找到最小化近似誤差的最佳擬合線。

之前，我們研究了熱電偶冷端補(bǔ)償（CJC）的硬件實(shí)現(xiàn)。CJC電路需要感測(cè)冷端（Tc）的溫度，并在Tc的溫度下產(chǎn)生與熱電偶產(chǎn)生的電壓相等的補(bǔ)償電壓。

總的來說，熱電偶是非線性的，由簡單的模擬電路產(chǎn)生的補(bǔ)償電壓只能近似實(shí)際響應(yīng)。因此，使用線性方程來近似熱電偶響應(yīng)會(huì)給我們的測(cè)量帶來誤差。

考慮到所有這些，本文將研究這個(gè)誤差，并看看我們?nèi)绾问褂?a class="contentlabel" href="http://butianyuan.cn/news/listbylabel/label/最小二乘法">最小二乘法來找到最小化近似誤差的最佳擬合線。

K型熱電偶線性近似誤差的評(píng)定

下圖1顯示了K型熱電偶的輸出和我們?cè)谏弦黄恼轮惺褂玫木€性近似值。

K型熱電偶的輸出和線性近似。

圖1。K型熱電偶的輸出和線性近似。

在這種情況下，我們假設(shè)熱電偶響應(yīng)的斜率是恒定的，等于其在室溫下的值（25°C時(shí)為41μV/°C）。如圖所示，所采用的直線穿過原點(diǎn)。通過減去這兩條曲線，我們得到了圖2所示的μV近似誤差。

以μV為單位的近似誤差圖。

圖2:以μV為單位的近似誤差圖。

接下來，通過將差分曲線除以直線的斜率（41μV/°C），我們得到了以°C為單位的誤差，如圖3所示。

顯示誤差與冷端溫度的關(guān)系圖。

圖3。顯示誤差與冷端溫度的關(guān)系圖。

上圖顯示，即使使用理想的電路元件，當(dāng)Tc從0變化到70°C時(shí)，我們也會(huì)有大約0.7°C的誤差。這個(gè)誤差僅源于我們的線性近似。我們可以使用最小二乘回歸線方法[視頻]來找到最適合我們數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性方程。

用最小二乘法尋找最佳擬合線

我們將通過一個(gè)例子解釋最小二乘擬合過程。假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)點(diǎn)：

表1。示例數(shù)據(jù)點(diǎn)。

我們想找到最能代表這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線。圖4顯示了這些點(diǎn)以及通過目視檢查選擇的直線，該直線試圖遵循數(shù)據(jù)中的趨勢(shì)。

顯示示例數(shù)據(jù)點(diǎn)和線性近似值的圖。

圖4。顯示示例數(shù)據(jù)點(diǎn)和線性近似值的圖。

正如你所看到的，一條直線不能穿過所有這些點(diǎn)。因此，我們的線性近似可能會(huì)給出與數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)際值不同的值。例如，在圖4中，直線在x=7處給出y=14，而在該x值處實(shí)際值為16。因此，實(shí)際值與我們的線性模型產(chǎn)生的值之間存在2個(gè)單位的差異。

在最小二乘法的背景下，實(shí)際曲線值和線性模型值之間的差異稱為殘差（本文中用r表示）。在這個(gè)例子中，x=7處的殘差等于r=+2。殘差的平方和可以被視為我們的線性模型與數(shù)據(jù)擬合程度的指標(biāo)。根據(jù)圖4所示的模型，我們有：

其中，總和指數(shù)（i）是指我們數(shù)據(jù)中的第i個(gè)點(diǎn)。最小二乘法試圖通過調(diào)整線性模型的斜率（m）和y軸截距（b）來最小化所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差平方和。使用下面的方程式1和2可以找到“最適合”數(shù)據(jù)的線性模型的斜率和y軸截距：

方程式1。

方程式2。

解釋：

xi和yi是第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x和y值

x和y是所有xi和易的平均值

n是數(shù)據(jù)點(diǎn)的總數(shù)

根據(jù)表1中給出的數(shù)據(jù)，我們得到x=4.2和y=7.2。表2顯示了將方程1和2應(yīng)用于我們的數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)的一些計(jì)算。

表2。根據(jù)方程式1和2計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)。

使用上述值，我們得到：

以及

從那里，下圖5提供了我們獲得的線圖。

圖5。使用表2計(jì)算的繪圖線。

讓我們找到這個(gè)新模型的殘差平方和：

這給了我們：

這個(gè)方程比上面獲得的先前的和值小得多。最小二乘法中涉及的計(jì)算是乏味的，通常使用電子表格或計(jì)算機(jī)程序來進(jìn)行這些計(jì)算。

使用Matlab尋找最佳擬合線

在Matlab中繪制曲線后，我們可以從“工具”菜單（圖6（a））中選擇“基本擬合”選項(xiàng)，打開“基本擬合（Basic Fitting）”窗口，如圖6（b）所示。

圖6。Matlab屏幕截圖顯示了“工具”菜單中的“最佳擬合”選項(xiàng)（A）和“最佳擬合“窗口（b）。

如果我們?cè)凇盎緮M合”窗口中選擇“線性”和“顯示方程”，Matlab將生成并顯示“最適合”我們數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性方程。

K型熱電偶的線性模型

繼續(xù)使用Matlab，我們發(fā)現(xiàn)K型熱電偶在0至70°C的溫度范圍內(nèi)具有以下線性模型：

在這種情況下，模型的斜率和y軸截距分別為40.778μV/°C和13.695μV。四舍五入到兩位有效數(shù)字，我們得到：

該模型和K型熱電偶產(chǎn)生的值之間的差異如圖7所示。這給了我們?chǔ)蘓的近似誤差。

圖7。顯示模型和K型熱電偶產(chǎn)生的值之間差異的圖。

將這些值除以41μV/°C線的斜率，我們得到了下面繪制的以°C為單位的誤差。

圖8。顯示分割前一個(gè)圖的值時(shí)的變化的圖。

根據(jù)最佳擬合線，當(dāng)Tc從0變化到70°C時(shí)，近似誤差約為0.35°C。這幾乎是之前模型誤差的一半。最后，請(qǐng)記住，如果冷端溫度在設(shè)計(jì)中的變化范圍更有限，則可以獲得更準(zhǔn)確的模型。例如，如果Tc從20°C變化到50°C，則最佳擬合線可以更準(zhǔn)確地模擬熱電偶響應(yīng)。

對(duì)于限制Tc如何提高精度的已解決示例，TI的這篇應(yīng)用說明可能很有用。