自動控制系統(tǒng)的設(shè)計--基于根軌跡的串聯(lián)校正設(shè)計

而對于△PcOSd有：

(6-31)

由上二式消去sinθ，并由式（6－29）可得：

(6-32)

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，上式可寫成如下形式：

(6-33)

進而有：

(6-34)

由于k可由穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)確定，u由未校正傳遞函數(shù)求出，因此根據(jù)上式求出角γ。最后可用式（6－22）和式（6－23）確定校正裝置的零極點和具體參數(shù)。

通過上述分析可知，對于超前校正裝置的參數(shù)確定，可用三種方法進行設(shè)計，其中第一法是工程經(jīng)驗方法，第二法則是從抑制高頻噪聲角度出發(fā)進行設(shè)計，第三法則先在滿足靜態(tài)性能指標的條件下設(shè)計滿足動態(tài)性能指標的控制器。但必須指出，上述三法均用于對靜態(tài)性能要求不高而系統(tǒng)的動態(tài)性能需要改善的控制系統(tǒng)，校正后的系統(tǒng)應(yīng)滿足根軌跡的相角條件和幅值條件。若系統(tǒng)的靜態(tài)性能指標較高，可能無法設(shè)計合適的超前校正裝置，此時應(yīng)采用遲后－超前校正裝置。

（三）根軌跡超前校正的步驟
綜上所述，用根據(jù)軌跡法進行超前校正的一般步驟為：

１）根據(jù)對系統(tǒng)靜態(tài)性能指標和動態(tài)性能指標的要求，分析確定希望的開環(huán)增益k閉環(huán)主導(dǎo)極點Sd的位置．

２）畫出校正前系統(tǒng)的根軌跡，判斷希望的主導(dǎo)極點位于原系統(tǒng)的根軌跡左側(cè)，以確定是否應(yīng)加超前校正裝置。

３）根據(jù)式（６—21）解出超前校正網(wǎng)絡(luò)在Sd點處應(yīng)提供的相位超前角φ。

４）選擇前面介紹的三種方法之一，求γ，爾后用圖解法或根據(jù)式（６—22）和式（６—23）求得Gc(s)的零點和極點，進而求出校正裝置的參數(shù)。

５）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡，校核閉環(huán)主導(dǎo)極點是否符合設(shè)計要求。

６）若采用第一法和第二法，則還須根據(jù)根軌跡的幅值條件，確定校正后系統(tǒng)工作在 處的增益和靜態(tài)誤差系數(shù)。如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)與要求的值相差不大，則可通過適當調(diào)整Gc(s)零點和極點的位置來解決；如果所求的靜態(tài)誤差系數(shù)比要求的值小得多，則需考慮用別的校正方法，如用遲后—超前校正。

下面舉例分別介紹上述三法的使用，進而對根軌跡超前校正步驟進行說明。

例6－5 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試設(shè)計一超前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 。

解：（１）這是一個積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，系統(tǒng)的無阻尼自然頻率 ，阻尼比 ，閉環(huán)極點為 以及靜態(tài)速度誤差系數(shù) ，校正前系統(tǒng)的根軌跡如圖６—20虛線所示。

（２）由 和 ，求得希望的閉環(huán)極點為:

。

（３）計算超前校正裝置在 處需提供的相位超前角。由于未校正系統(tǒng)的 在 處的相角為：

為了使校正后系統(tǒng)的概軌跡能通過希望的極點，超前校正裝置必須在該點產(chǎn)生的超前角。

（4）根據(jù)根軌跡的相角條件，確定超前校正裝置的零點和極點。因為 ， ，所以 。按照最大α值的設(shè)計方法，可計算或作圖求出 ， 。這一校正裝置的傳遞函數(shù) 。于是求得由校正網(wǎng)絡(luò)和附加放大器組成的超前校正裝置的傳遞函數(shù)，并得到校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

數(shù)

式中，。由上式作出校正后系統(tǒng)的根軌跡，如圖6—20中的實線所示。

（5）確定系統(tǒng)工作在希望閉環(huán)極點處的增益和靜態(tài)速度誤差系數(shù)。由根軌跡的幅值條件

解得 。由于 ，因而 。系統(tǒng)對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

由上式求得校正后系統(tǒng)