拉普拉斯反變換

利用拉普拉斯反變換的定義式（9-1-3），將象函數(shù)代入式中進(jìn)行積分，即可求出相應(yīng)的原函數(shù)，但往往求積分的運(yùn)算并不簡(jiǎn)單。下面介紹求反變換的一種校為簡(jiǎn)便的方法。

設(shè)有理分式函數(shù)：

若m≥n，則可通過多項(xiàng)式除法得：

式中，整式的拉普拉斯反變換為：

是有理真分式，記為。對(duì)于電路問題，多數(shù)F(S)是有理真分式即n≥m情況。為求的拉普拉斯反變換，通常利用部分分式展開的方法，將之展開成簡(jiǎn)單分式之和。簡(jiǎn)單分式的反變換，可直接查表9-1-1直接獲得。

令，求出相應(yīng)的幾個(gè)根，記作。根據(jù)所求根的不同類型，下面分三種情況進(jìn)行討論。

一、當(dāng)有幾個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根時(shí)

按部分分式展開為：

式中，，……是對(duì)應(yīng)于極點(diǎn)的留數(shù)。留數(shù)可由下面兩式求出，即：

（式9-3-1）

或：

（式9-3-2）

于是的反變換式為：

（式9-3-3）

例9-3-1：求的拉普拉斯反變換式。

解：的部分分式展開式為：

由（式9-3-1）：

同理可得：，

于是：

二、當(dāng)包含有共軛復(fù)根時(shí)

設(shè)：

當(dāng)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，是復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)。

例9-3-2 求的原函數(shù)。

解：

由（式9-3-1）：

的原函數(shù)為：