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單級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性算法設(shè)計(jì)

作者: 時(shí)間:2011-04-01 來(lái)源:網(wǎng)絡(luò) 收藏
擺是日常生活中許多重心在上、支點(diǎn)在下的控制問(wèn)題的抽象模型,本身是一種自然不穩(wěn)定體,它在控制過(guò)程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問(wèn)題,如系統(tǒng)的非線性、可控性、魯棒性等問(wèn)題。對(duì)擺系統(tǒng)的控制就是使小車以及擺桿盡快地達(dá)到預(yù)期的平衡位置,而且還要使它們不會(huì)有太強(qiáng)的振蕩幅度、速度以及角速度,當(dāng)擺系統(tǒng)達(dá)到期望位置后,系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動(dòng)而保持平衡。作為一種控制裝置,它具有形象直觀、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于模擬實(shí)現(xiàn)多種不同控制方法的特點(diǎn),作為一個(gè)被控對(duì)象它是一個(gè)高階次、非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng),只有采取行之有效的方法才能使它的穩(wěn)定效果明了,因此對(duì)倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。

  1 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文引用地址:http://butianyuan.cn/article/162230.htm

  對(duì)于倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō),如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后,可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車和通過(guò)軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成,如圖1所示。其中,小車的質(zhì)量M=1.32 kg,擺桿質(zhì)量m=0.07 kg,擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動(dòng)軸心距離l=0.2 m,擺桿與垂直向下方向的夾角為θ,小車滑動(dòng)摩擦系數(shù),fc=0.1。

  

一級(jí)倒立擺系統(tǒng)

  倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立方法一般有利用牛頓力學(xué)的分析方法和分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模兩種。本文采用的是拉格朗日方程建模。

  一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程應(yīng)為:

  

公式

  式中:L是拉格朗日算子;V是系統(tǒng)動(dòng)能;G是系統(tǒng)勢(shì)能。

  

公式

  式中:D是系統(tǒng)耗散能;fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力。

  一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的總動(dòng)能為:

  

公式

  一級(jí)倒立擺系統(tǒng)有4個(gè)狀態(tài)變量,分別是

  

公式

  

公式

  ,根據(jù)式(7)寫出系統(tǒng)狀態(tài)方程,并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理,得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下:

  

公式

  2 倒立擺性能分析

  系統(tǒng)的能控性是控制器的前提,所以在前對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性分析,根據(jù)能控性矩陣T0=[B,AB,A2B,A3B],利用Matlab中的rank命令,可以得出rank(T0)=4。由此可知,系統(tǒng)是完全可控的,因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的,使系統(tǒng)穩(wěn)定。

  3 LQR控制器的設(shè)計(jì)

  3.1 LQR控制器原理

  線性二次型調(diào)節(jié)器的控制對(duì)象是線性系統(tǒng),這個(gè)線性系統(tǒng)必須是狀態(tài)空間的形式,即:

  

公式

  ,Y=Cx+Du。通過(guò)確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K,使性能指標(biāo)

  

公式

  的值極小。其中,加權(quán)矩陣Q和R是用來(lái)平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)重;P是Riccati方程的解。這時(shí)求解Riccati代數(shù)方程:

  

公式

  就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值:

  

公式

  LQR用于擺的原理圖如圖2所示。

  

LQR用于單級(jí)擺的原理圖

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