低通信號(hào)的采樣與重建及其SystemView仿真

抽樣定理是模擬信號(hào)數(shù)字化傳輸?shù)睦碚摶A(chǔ)，是通信原理中最經(jīng)典和最重要的定理。所謂的信號(hào)抽樣就是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)xa(t)"抽取"一系列的離散值，這種信號(hào)通常稱為"抽樣信號(hào)"，本文以x(t)表示，顯然其數(shù)學(xué)模型可以簡化為脈沖序列與原連續(xù)信號(hào)的乘積形式。

1 時(shí)域抽樣定理及其討論

令連續(xù)信號(hào)xa(t)的傅里葉變換為xa(jω)，抽樣脈沖序列p(t)傅里葉變換為p(jω)，抽樣后的信號(hào)x(t)的傅里葉變換為x(jω)。若采用均勻抽樣，抽樣周期為ts,抽樣頻率為ωs=2πf，由前面分析可知：抽樣的過程可以通過抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號(hào)xa(t)相乘來完成，即滿足：

式(6)其表明：信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，他的頻譜x(jω)是連續(xù)信號(hào)頻譜xa(jω)的形狀以抽樣頻率ωs為間隔周期重復(fù)而得到，在重復(fù)過程中幅度被p(t)的傅里葉級(jí)數(shù)pn加權(quán)。因?yàn)閜n只是n的函數(shù)，所以xa(jω)在重復(fù)的過程中不會(huì)使其形狀發(fā)生變化。

假定信號(hào)xa(t)的頻譜限制在一ωm～+ωm的范圍內(nèi)，若以間隔ts對xa(t)進(jìn)行抽樣，由式(6)可知抽樣信號(hào)x(t)的頻譜x(jω)是以ωs為周期重復(fù)。顯然，若在抽樣的過程中ωs<2ωm，則x(jω)將發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，只有在抽樣的過程中滿足ωs≥2ωm條件，x(jω)才不會(huì)產(chǎn)生頻譜的混疊，接收端完全可以由x(t)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)xa(t)，這就是低通信號(hào)抽樣定理的核心內(nèi)容。

2 信號(hào)的重建

從頻域看，設(shè)信號(hào)最高頻率不超過折疊頻率：

式(10)表明只要滿足取樣頻率高于兩倍信號(hào)最高頻率，連續(xù)時(shí)間函數(shù)xa(t)就可用他的取樣值xa(nt)來表達(dá)而不損失任何信息。這時(shí)只要把每一個(gè)取樣瞬時(shí)值與式(9)相乘求和即可得出xa(t)，在每一取樣點(diǎn)上，由于只有該取樣值所對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)式(9)不為零，所以各個(gè)取樣點(diǎn)上的信號(hào)值不變，而取樣點(diǎn)之間的信號(hào)由式(10)構(gòu)成。

3 低通信號(hào)抽樣定理在systemview上的仿真

前面分析表明要傳輸模擬信號(hào)不一定傳輸模擬信號(hào)本身，只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。圖1所示是低通信號(hào)采樣與重建的原理圖。

由原理圖建立對應(yīng)的systemview仿真電路如圖1所示，圖中被采樣的模擬信號(hào)源是幅度為1 v，頻率為100 hz的正弦波，抽樣脈沖為脈寬為1μs矩形脈沖。樣器用乘法器替代。為驗(yàn)證信號(hào)抽樣與恢復(fù)不失真的條件，分別選取了10ohz，200hz，1000 hz等不同的抽樣頻率，對原輸入信號(hào)波形與抽樣恢復(fù)后的波形進(jìn)行觀察和分析，從而直觀地驗(yàn)證低通信號(hào)抽樣定理。

圖2中圖符1o為正弦信號(hào)源。圖符1和4為基帶多相低通濾波器，對待傳輸?shù)男盘?hào)進(jìn)行濾波，以減少實(shí)際發(fā)射占用的帶寬，在論文中設(shè)置其參數(shù)為3階、截止頻率為100 hz的巴特沃斯低通iir濾波器。圖符8和9是倍數(shù)為1的增益，對輸入信號(hào)進(jìn)行放大。圖符2為乘法器。圖符3為抽樣脈沖，產(chǎn)生具有特定的幅度和頻率的周期性脈沖串。通過改變圖符3中頻率參數(shù)，即相當(dāng)于改變采樣頻率fs。fs分別設(shè)置為100，200，1000 hz得到仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

通過仿真結(jié)果的對照，表明采樣頻率為1000hz 時(shí)抽樣信號(hào)恢復(fù)的效果最好，基本能得到與原信號(hào)相同的波形。由此直觀地證明了抽樣定理的正確性：抽樣信號(hào)在fs≥2fm的條件下可以重建原信號(hào)；抽樣信號(hào)頻率越高重建效果越好；由于抽樣信號(hào)的頻譜是原信號(hào)頻譜的周期性的延拓。所以，只要通過一個(gè)截止頻率為fc(fm≤fc≤fs-fm)的低通濾波器就能恢復(fù)出原信號(hào)。

4 結(jié) 語

本文對抽樣定理進(jìn)行了詳細(xì)的理論推導(dǎo)，得到了低通信號(hào)的采樣與信號(hào)恢復(fù)的條件。理論推導(dǎo)表明實(shí)際抽樣中所得信號(hào)頻譜與理想取樣的頻譜結(jié)構(gòu)十分相似，只是幅度變化規(guī)律不一樣，只要滿足抽樣定理從抽樣信號(hào)都能正確恢復(fù)原始連續(xù)信號(hào)，運(yùn)用systemview軟件建立信號(hào)的采樣與重建的動(dòng)態(tài)仿真模型，采用逐步提高采樣頻率的方法，從而得到一系列的仿真結(jié)果，直觀地驗(yàn)證了低通信號(hào)的抽樣定理的正確性。