如何利用通信系統(tǒng)測試中的高斯噪聲(上)

系統(tǒng)中信號能量與噪聲的比值通常記做E_b/N_o(或是C/N、C/N_o、SNR)，表示信號強度與噪聲強度大小的比率，是衡量通信信道性能的重要參數(shù)。利用加性高斯白噪聲計算信噪比的方法已經(jīng)非常成熟，并被廣泛地應用于各種主要的通信標準中(例如MIL-188-165a and ATSC A80)。

白噪聲在頻譜中所有頻率點上的強度都是相同的，是系統(tǒng)性能測試中噪聲源的理想選擇。噪聲的概率密度為高斯分布的原因是實際的隨機信號都遵循高斯分布，或者說正態(tài)分布的。大多數(shù)通信信道中的噪聲(如放大電路引入的噪聲)都是熱噪聲，往往傾向于高斯分布。而且，中心極限定理證明了如果數(shù)量足夠多的隨機事件同時發(fā)生，不管單個事件服從何種分布(均勻分布，高斯分布或其它)，其總和的極限值趨于無窮大并為高斯分布。

高斯分布的數(shù)學表達式如下所示：

上式給出了一個均值為?，方差為Σ²的變量x的概率分布函數(shù)。數(shù)學家和統(tǒng)計學家一般稱之為正態(tài)分布，心理學家稱為貝爾曲線，而物理學家和工程師則稱為高斯分布。該函數(shù)從數(shù)學上描述了高斯噪聲的大小圍繞其均值上下波動的特征(圖1)。

利用噪聲來測量系統(tǒng)性能有多種方法，其中一種是在待測信道中加入噪聲并不斷提高強度，使得信號質量下降直至無法檢出為止。舉例來說，可以在電視圖像中加入“雪花”作為信號噪聲。導致信道信號質量下降的噪聲強度大小可以用來評估信號處理技術的能力和效率。

如果需要更加量化的分析，有一種方法是把系統(tǒng)容量分為疊加了噪聲的信號和沒有噪聲的信號兩部分。沒有噪聲的信號更加容易分解(圖2)，比如用電壓V₀的信號代表數(shù)字比特0，電壓V₁的信號代表數(shù)字比特1。在實際的電子系統(tǒng)中信號上總是存在噪聲，這時信號幅度就會圍繞V₁ 或V₀上下隨機波動，其概率密度服從1式給出的高斯分布。

如果上述兩個信號相隔很遠沒有相互交迭的話，把他們區(qū)分開不會有什么問題。然而高斯噪聲的存在使得信號之間總會有或多或少的交迭(圖3)，此時該如何區(qū)分它們呢？

解決辦法是在二者之間設定一個門限值(V₁--V₀)/2，該值小于V₁大于V₀，如果檢測到的信號電壓高于該門限則判為1，否則判為0。如果比特0的信號噪聲足夠大，超出了門限值，會發(fā)生什么情況？在判決算法給定的情況下，0會被誤判為1，這時就產(chǎn)生了比特誤碼。

一定數(shù)量的差錯是無法避免的，因此有必要為比特誤碼確定測量標準來衡量問題的嚴重程度。計算以下情況出現(xiàn)的概率是可能的：傳送0時由于噪聲的存在使得信號電平超過了門限值，或者傳送1時噪聲與信號相抵使得信號電平降低到門限值以下。根據(jù)貝葉斯定理，這個概率可以表示為：

上式表明總的錯誤概率等于0碼和1碼的錯誤概率分別乘以它們的出現(xiàn)概率之和。在一個簡單的系統(tǒng)中只有1和0兩種信號，且1和0出現(xiàn)概率大致相同(1和0的出現(xiàn)可能各占一半)，這時2式可以改寫為：

0碼的錯誤概率由下式給出：

其中n表示疊加了噪聲的信號電壓。1碼的錯誤概率為：

由于高斯分布的對稱性，高斯噪聲信道中根據(jù)上兩式計算得出的概率數(shù)值相等，可統(tǒng)一表示為：

上面的例子中系統(tǒng)的比特錯誤率等于噪聲強度超過門限值的概率。高斯分布的統(tǒng)計特性給出了高斯變量x超過給定值a的概率：

其中erfc為互補誤差函數(shù)，erfc(x)= 1-erf(x)，erf為誤差函數(shù)。

誤差函數(shù)erf廣泛應用于各種數(shù)據(jù)分析的場合，包括解描述半導體材料中雜質分布的微分方程。該方程沒有解析解，但可以由麥克勞林級數(shù)求出近似解。由于其重要性，很多教科書中都列出了erf(x)的數(shù)值表，Microsoft Excel甚至把erfc作為其數(shù)據(jù)分析工具包Toolpak的一部分。

對應上面的例子，門限值為(V₁– V₀)/2，噪聲電壓的統(tǒng)計參數(shù)為零均值、方差σ²= V_n²，其中V_n²是噪聲電壓的RMS值。因此7式可以表示為：

為了得出表示功率之比的E_b/N_o表達式，可以把8式變形為以電壓的平方來表示：

上式可以改由功率表示：

其中N_o代表噪聲功率密度。由于每比特功率E_b等于兩信號功率的平均，上式還可以改寫為：

至此我們推導出了二進制移相鍵控(BPSK)信道中誤碼率的常用公式。同樣的推導方法應用于四進制移相鍵控(QPSK)和正交QPSK(OQPSK)信道可以得出相同的結果，對于其它調制機制只需把11式稍加變形即可。對這些調制方式的詳細的推導超出了本文的范圍，但是它很好地解釋了該公式(以及利用它得出的“瀑布曲線”)是來源于高斯PDF的內在特性。

作者：Peter Matthews